TITULO: Aproximación por plano tangente
AUTOR: Xavier Marcote

Esta applet está diseñada para ayudar en la comprensión de cómo se obtiene el plano tangente a una superfície z=f(x,y) en un punto dado (P,f(P)) (P está en el dominio de f), y cómo se puede utilizar este plano para obtener 
un valor aproximado de f(P') para puntos P' lo suficientemente cercanos a P.
Inputs : - función z=f(x,y);
         - puntos P, P' del plano-xy.
Outputs: - punto P3D=(P,f(P)) sobre la superficie z=f(x,y));
         - el gradiente de f en P;
         - el vector normal n a la superficie en P3D (construcción en un gráfico auxiliar bidimensional);
         - el plano tangente a la superficie en P3D; 
         - el valor de f(P') y de su aproximación por el plano tangente en P3D.   

ACTIVIDADES:

1) Entrar la función f(x,y)=x^2+2y^2. En el gráfico izquierdo inferior, clicar con el ratón sobre el punto P y arrastrarlo, y notar cómo el vector unitario u cambia. Notar que P3D=(P,f(P)) se encuentra sobre la superficie z=f(x,y).

2) Fijar el punto P al valor P=(2,1) (si se prefiere, se pueden escribir sus coordenadas en lugar de usar el ratón). Obtener analíticamente grad f(P), el gradiente de f en el punto P (esto es, las derivadas parciales de f 
   respecto a x y a y, en el punto P; resultado=(4,4)), calcular la norma (módulo) de este vector, dividir grad f(P) por su norma (obteniendo vector unitario u), y comprobar que el resultado para u coincide con el mostrado 
   en la casilla correspondiente (resultado: u=(1/sqrt(2),1/sqrt(2)).

3) En el gráfico del medio, notar cómo el vector (0,0,-1) se suma al vector (grad f(P),0) para dar el vector n, que es normal (ortogonal) a la superficie en el punto P3D=(P,f(P)).
 
4) Observar la ecuación del plano tangente en el punto P3D. Es del tipo  Ax+By+Cz=D, donde (A,B,C)=n, y D es el valor obtenido al imponer que el plano contenga al punto P3D. Si P3D=(x0,y0,z0), una simple sustitución lleva a 
   D=Ax0+By0+Cz0; entonces, el plano tangente se puede escribir como Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0 (o, equivalentemente, como  A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0). Comprobar que esto es así en el caso que se está tratando, P=(2,1) y f(x,y)=x^2+2y^2. Véase 
   el plano tangente en el gráfico 3D de la derecha.

5) Todavía con f(x,y)=x^2+2y^2 y P=(2,1). Tomar un punto P' cercano a P (en el dominio de f, en el plano), y observar los valores de f(P') en las correspondientes casillas, tanto para el valor exacto como para el aproximado por el plano 
   tangente en P (en P3D, para ser más precisos). Arrastrar P' de forma que cada vez se acerque más a P, y notar cómo los dos valores de f(P') (exacto y aproximado) cada vez se parecen más. Este hecho muestra claramente que aproximar el valor 
   de una función en un punto P' por el plano tangente en otro punto P da mejores resultados cuanto más cerca esté P' de  P.

6) Repetir pasos 1 a 5 para otras superficies z=f(x,y) y/o otros puntos P, hasta entender cómo se calcula el plano tangente en un punto y cómo se puede utilizar para obtener valores aproximados de una función para puntos lo suficientemente cercanos.
   ¿Qué ocurre cuando f(x,y)=ax+by para dos valores reales a,b dados?